Application du produit scalaire - Exemple

Dans un carré \(\text A\text B\text C\text D\) , soit \(\text E\) et \(\text F\) les milieux respectifs des segments \([\text A\text B]\) et   \([\text B\text C]\) . La situation est illustrée dans le fichier de géométrie dynamique où ont été tracés les segments \([\text A\text F]\) et \([\text D\text E]\) .

Il semblerait que les droites \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) soient perpendiculaires. Nous allons valider ou réfuter cette conjecture à l'aide du produit scalaire.

En effet, d'après le cours, nous savons que  \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=0.\) On a   \(\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=(\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text F})\cdot(\vec{\text D\text A}+\vec{\text A\text E}).\)    \(\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text D\text A}+\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text E}+\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text D\text A}+\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text A\text E}.\)
Or, \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text D\text A}=\vec{\text B\text F}\cdot\vec{\text A\text E}=0\) car les directions de chaque couple de vecteurs sont perpendiculaires dans un carré. De plus,  \(\vec {\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text E}=\text A\text B\times \text A\text E\times \cos(0)=\text A\text B\times \dfrac{1}{2}\text A\text B=\dfrac{1}{2}\text A\text B^2\) et
  \(\vec {\text B\text F}\cdot\vec{\text D\text A}=\text B\text F\times \text D\text A\times \cos(\pi)=-\dfrac{1}{2}\text B\text C\times \text A\text D=-\dfrac{1}{2}\text B\text C\times \text B\text C=-\dfrac{1}{2}\text B\text C^2=-\dfrac{1}{2}\text A\text B^2\) Au total, on a donc 
\(\vec{\text A\text F}\cdot{\vec{\text D\text E}}=0+\dfrac{1}{2}\text A\text B^2-\dfrac{1}{2}\text A\text B^2+0=0\)
Les vecteurs \(\vec{\text A\text F}\) et \(\vec{\text D\text E}\) sont donc orthogonaux et les droites   \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) sont perpendiculaires.